Servomekanizma-otomatik kontrol-giriş
Örnek
Integral, türev, diferansiyel ve PID kontrol
Blok diagram
Termometrenin blok diagramının çıkarılması
SERVOMEKANİZMA-OTOMATİK KONTROL- GİRİŞ
1788 yılında, James watt buhar makinasının hızının ayarlanan değerde kalabilmesi için bir mekanizma geliştirdi. Dönen bir ağırlık santrifüj kuvvetin etkisi ile büyük hızlarda açılıp küçük hızlarda kapanmakta idi. Ağırlığın bu hareketi, hızın yükseldiği zamanlar buhar girişini kapayıp hızın düştüğü anlarda açmak için kullandı. Watt regülatörü, bugün de, hızın regüle edilmesi gereken yerlerde yaygın olarak kullanılmaktadır.
Servomekanizma
Çıkış bilgisini kullanarak gereken ayarları yapmak otomatik kontrolun esasıdır. Bu tür sistemlere kapalı çevrim (closed-loop), servomekanizma yada geri-beslemeli sistem adı verilir.
Günümüzde, pnomatik, hidrolik, mekanik, sistemler de bulunmakla birlikte dijital teknolojinin gelişimi ve amaca uygunluğu sebebiyle elektronik sistemler çok daha yoğun kullanılmaktadır.
Devam eden sayfalarda bir tank içindeki suyun sıcaklığını nasıl sabit tutamaya çalışacağız.
Örnek
Otomatik kontrolun esaslarını basit bir örnekten yola çıkarak açıklayalım:

Tç (çıkış) sıcaklığında, w debide suya ihtiyacımız olduğunu, bunu Tg (giriş) sıcaklığında, w debide su girişi olan bir tank içinde suya ilave ısı vererek yapmak istediğimizi düşünelim.

Suyun özgül ısısı C ise, suyu Tg ‘den Tç sıcaklığına ısıtmak için (birim zamanda),
q= w.C.(Tç-Tg)
kadar ısı verecek bir ısıtıcıyı tank içine yerleştirmemiz gerekir.
Fakat ısıtıcıyı hep bu değerde ısı verecek şekilde ayarlarsak, şartlarda bir değişiklik olduğunda çıkış sıcaklığı istediğimiz değerden sapacaktır. Bunun çözümü, ısıtıcıyı istenen çıkış sıcaklığını koruyacak şekilde ayarlanabilir yapmaktır.
Şuna karar vermemiz gerekli; tank sıcaklığı (T), istenen çıkış sıcaklığından saptığında düzeltmek için ısıtıcıyı ne kadar azaltıp-çoğaltmalıyız. Bir çözüm, bu işten sorumlu bir operatör çalıştırmak olabilir. Operatör bir termometre aracılığıyla sıcaklığı ölçüp Tç ile karşılaştırır. Eğer sıcaklık istenen değerden az ise ısıtıcıyı bir parça açar, fazla ise ısıtıcıyı kısar. Tecrübe kazandıkça hangi durumda ısıtıcıyı ne kadar açıp kapayacağını daha iyi öğrenecektir.
Tabiki böyle bir iş bir makine tarafından çok daha kolay ve ucuzca gerçekleştirilebilir. Bu ve benzeri işleri otomatik olarak gerçekleştirmeye otomatik kontrol adı verilir.
Eğer bu işi bir makine yapacaksa, makinanın her durum için tam olarak nasıl davranması gerektiğine bizim karar vermemiz gerekiyor. Makinanın operatör gibi durumu muhakeme edip kendinin karar vermesini bekleyemeyiz.
Kontrol ünitesinin operatör gibi çalışmasını istediğimizden, kontrol ünitesi tank sıcaklığı (T) ve istenen değere (Tç) bakıp, ilave ısıyı bu değerleri kullanan bir formule göre bulmalıdır. Bu iş için en uygun yaklaşım (T-Tç) hata (error) değerini kullanmak gibi gözüküyor. Doğal olarak hata arttıkça sonuçtan memnuniyetsizliğimiz artar. Hata sıfır ise herhangi bir müdehale gerekmiyor demektir.
Bu düşünceler çerçevesinde, ısıtıcının hata ile orantılı, ilave ısı vermesini önermek en mantıklı yol olacaktır. Böylece verilmesi gereken ısı;
q=wC(Tç-Tg) + Kc(Tç-T) olur.
Buna orantılı kontrol denir. Sistem T ile Tç farklı değerlerde olduğu sürece Kc(T-Tç) kadar ilave (yada eksik) ısı verecektir. K sabitini istediğimiz gibi yüksek yada alçak seçerek sistemin hataya çok yada az tepki vermesini sağlayabiliriz.
Integral, türev, diferansiyel ve PID kontrol
Herhangi bir anda giriş sıcaklığının aniden delta Tg kadar arttığını ve öyle devam ettiğini düşünelim. Tank sıcaklığı T nin giriş sıcaklığındaki ani değişmeye cevabına baktığımızda (ilgili diferansiyel denklemi çözdüğümüzde) orantılı kontrolun Kc katsayısını bağlı olarak değişik nisbetlerde istenen Tç değerine yaklaştığını fakat Tç değerini sağlayamadığını görürüz. Kc değeri sıfır iken (hiç kontrol yokken) çıkış sıcaklığı delta Tg kadar yükselir. Kc değerini birazcık arttırdığımızda tank sıcaklığının istenen Tç değerine bir parça yaklaştığını görürüz. Kc değeri yükseldikçe orantılı kontrolun istenen Tç sıcaklığına o nisbette yaklaştığını görürüz. Fakat çok yüksek Kc değerleriyle çalışmanın ısıtıcı açısından sorun yaratacağı kolaylıkla görülebilir. Ayrıca biz sistemin sadece bir duruma olan tepkisini gördük. Kc değerinin büyük seçilmesi farklı durumlarda başka olumsuz etkiler de yapabilir. Örneğin Tg sıcaklığı ortalaması aynı kalacak şekilde çok dalgalı bir seyir izlese hiç kontrol edilmeyen bir sistemde bile tank hacmi bu dalgalanmaları yumuşatıp çıkışta istenen değer civarında bir sıcaklık elde edilecektir. Eğer buraya yüksek Kc değerli orantılı kontrol uygularsak sistem girişteki dalgalanmaların etkisini artıracak çekilde davranır.

Şekil: Orantılı kontrol şartlarda değişiklik olduğunda orantı katsayısının ancak büyük olması halinde sistemi yeniden istenen değere getirebilir
O zaman şöyle bir ikilem çıkıyor; Tg sıcaklığındaki kalıcı değişikliklere doğru tepki verebilmek için Kc değerinin büyük, Tg sıcaklığındaki dalgalanmalara (gürültülere) doğru tepki verebilmek için ise Kc değerinin küçük seçilmesi gerekir. Sonuç olarak, orantılı kontrol amacı tam olarak sağlamakta yetersiz kalmaktadır
İntegral kontrol
Orantılı kontrola (Proportional control) yapılabilecek önemli bir iyileştirme integral kontrolu eklemek olacaktır. Kontrol ünitesine, hatanın zamana göre integrali ile orantılı bir miktar daha ilave ısı vermesini söyleriz. (Hata olmadığı sürece integrali de sıfır olacağından böyle bir yaklaşım makul gözüküyor.)
q(t)=wC(Tç-Tg) + Kc(Tç-T) + Kr.İntegral(T-T).dt
Şimdi kontrol sisteminde iki tane ayarlanabilir parametre vardır. Kc ve Kr.
Böyle bir sistemin giriş sıcaklığındaki ani ve kalıcı değişikliğine tepkisine baktığımızda Kc ve Kr nin makul değerleri için sistemin bir müddet içinde istenen Tç değerini tam olarak sağladığını görürüz. Dolayısıyla böyle bir kontrol orantılı kontrola her bakımdan üstündür. Aslında herhangi Kc ve Kr değeri için sistem bir müddet sonra kararlı hale gelecektir. Fakat sistemin kararlı hale gelmesi için gereken süre ve bu süre zarfındaki davranışları Kc ve Kr değerlerine bağlıdır.

Şekil:Tank cıcaklığının zamana göre değişimi
Böylece integral kontrolun orantılı kontrole açıkça üstün olduğunu gördük. Hem makul orantı katsayıları kullandık, hem de bir müddet sonra sistem istenen Tç değerine tam olarak geldi.
Problem çözülmüş gibi gözüküyor. Fakat biraz daha detaya indiğimizde başka bazı sorunlar olduğunu görüyoruz.
Biz kontrol ünitesinin tank sıcaklığını an ve an öğrenebildiğini düşünmüştük. Oysaki bunu gerçekleştirmek için kullanılacak bir termokuplun veya termometrenin gösterdiği sıcaklıkla gerçek tank sıcaklığı aynı olmayabilir. Örneğin sıcak bir yerden soğuk bir yere götürülen bir termometre ancak bir süre sonra soğuk yerin sıcaklığını gösterecektir. Ya da sıcaklığı sürekli değişen bir yerde termometre bir türlü gerçek sıcaklığı gösteremiyecektir. Termometrenin doğru değeri gösterebilmesi için civanın ortam sıcaklığına erişene kadar ısı çekmesi (yada atması) gerekir.

Şekil: Termometre eklenmiş sistem
Sonuç olarak kotrol ünitesine gerçek tank sıcaklığı yerine termokupl sıcaklığı Tm gideceğinden ısıtıcının tanka verdiği ısı
q(t)=wC(Tç-Tg) + Kc(Tç-Tm) + Kr. İntegral(T-Tm).dt
olacaktır.
Böylece kontrol ünitesi verilecek ısıyı doğru değer (Tç-T) yerine (Tç-Tm) e göre hesaplayacaktır.
Böyle bir sistemin girişte delta Tg kadar ani ve kalıcı değişikliğe tepkisine baktığımızda sistemin istenen değere gelebilmek için daha çok salınım yapmak zorunda kaldığını yada nisbeten büyük Kr değerleri için salınımların (genliğinin) azalmak yerine sonsuza büyüdüğünü görürüz. Böyle sistemlere kararsız (unstable)sistemler denir. Sonuç olarak kontrol sistemi istediğimiz şekilde çalışmayacaktır. Hiç kontrol kullanılmayan sistem bile böyle kararsız (unstable) bir sistemden daha iyidir.

Şekil: Çeşitli Kr katsayıları için sistemin kararlı davranışı
Şekil: Sistemin kararsız davranışı
Sistemlerin kararlı (stable) olması yada olmaması tüm sistemin fiziksel yapısına ve seçilen kontrol parametrelerine bağlıdır. Otomatik kontrolde kararsız sistemler sık karşılaşılabilen durumlar olduğundan, sistemin kararsız davranıp davranmayacağını söyleyebilecek yöntemler olmalıdır. Otomatik kontrolde sistemin kararlı olup olmadığı Bode, Nyquist v.b. kararlılık kriterleri kullanılarak araştırılır.
Türev Kontrol
Orantılı ve integral kontrole ilaveten hatanın zamanla değişiminin türevi kullanılarak da kontrol yapılabilir. Bu kontrole türev (derivative) kontrol denir.
Günümüzdeki bir çok sistem her üç kontrolu içeren PID (Proportional-integral-Derivative) kontrol kullanmaktadır.
Her üç kontrollere ait katsayılar uygun şekilde ayarlanarak sistemin her türlü dış etkiye karşı kararlı kalması sağlanmaya çalışılır. Günümüzde gelişmiş çihazlar sistemi bir süre çalıştırıp dinamik davranışına göre bu katsayıları yarı yada tam otomatik olarak belirleyebilmektedir.
Blok diagram
Otomatik kontrol sistemini oluşturan parçaları ve birbirleri ile bağlantıları daha iyi görebilmek ve analizleri daha kolay yapabilmek için blok diagramı çizilir. Blok diagramında her bir ünite (kontrol ünitesi, termokupl, ısıtıcı vb.) ayrı ayrı gösterilip giriş ve çıkışları birleştirilir. Ünitelerin girişine gelen sinyal ve çıkışta üretilen sinyal belirtilir. Örneğin bir termokupl için giriş sinyali tank sıcaklığı, çıkış sinyalı termokuplun gösterdiği sıcaklıktır.

Şekil: Basit bir kontrol sisteminin blok diyagramı
Bloktaki her bir eleman girişine uygulanan bir sinyali fiziksel yapısına bağlı olarak çoğunlukla çıkışta farklı bir sinyale çevirir. Örneğin mükemmel bir termometre girişine uygulanan bir sıcaklık sinyalinin aynısını çıkışta üretecektir. Buna karşılık gerçek bir termometre girişine uygulanan bir sinyali (yukarıda bahsedilen ısı geçişindeki gecikme sebebiyle) çıkışta farklı gösterecektir.
Böylelikle bloktaki her bir ünitenin girişine uygulanan bir sinyale karşılık çıkışta başka sinyal ürettiğini söyleyebiliriz.Diyagramdaki her bir bloğun çıkış sinyalini,
çıkış sinyali=giriş sinyali*transfer fonksiyonu
şeklinde formule edecek bir transfer fonksiyonu tanımlarsak, sistemin matematiksel modelini daha kolay geliştirmek, hatta tüm sistemin davranışını tek bir denklem halinde birleştirmek mümkün olabilir.
Matematiksel işlemler yaparken sinyallerin zamana bağlı gerçek değişimleri yerine Laplace transformasyonlarını kullanmak daha elverişlidir. Laplace transformasyonu lineer, adi diferansiyel denklemleri çözümü için çok elverişli bir metoddur. Otomatik kontrol problemlerinin önemli bir kısmı bu tür diferansiyel denklemler içerdiğinden gerçek fonksiyonlar yerine Laplace dönüşümleri ile işlem yapmak problemlerin çözümünü kolaylaştırır.
Bu sebeple transfer fonksiyonunu, çikiş sinyalinin Laplace transformasyonunun giriş sinyalinin laplace transformasyonuna oranı biçiminde tanımlarız.
G(s)= Y(s)/X(s)

Şekil: Giriş-çıkış sinyalleri ve transfer fonksiyonun gösterilmesi
Bu şekilde, tüm işlemleri Laplace dönüşümleri (fonksiyonları) ile yapıp sistemin davranışını tek Laplace fonksiyonuna indirgeyip, daha sonra bu fonksiyonun ters (inverse) dönüşümünü yaparak gerçek fonksiyonu elde edebiliriz.

Şekil: Laplace fonksiyonunun tanımlanması
Termometrenin transfer fonksiyonu
Transfer fonksiyonunun nasıl bir şey olduğunu daha iyi anlayabilmek için civalı bir termometre için transfer fonksiyonunu bulalım:
Civalı termometreler ısı geçişi yoluyla ortam sıcaklığına ulaşıp, ortam sıcaklığını gösterirler. Fakat ortam sıcaklığı hızlı değişiyorsa ısı geçişi için yeterli süre kalmaz ve termometre farklı değerler gösterir.

Şekil: Civalı termometrenin kesiti
Termometre camının ve civanın kondüksiyon direncleri ve camın ısıl kapasitesi ihmal edildiğinde, ortam ile civa arasında (konveksiyon yoluyla) ısı transferi;
h.A.(x(t)-y(t))=m.C.dy(t)/dt şeklinde yazılır.
Burada;
x(t): zamana bağlı ortam sıcaklığı (termometre giriş sıcaklığı)
y(t): zamana bağlı civa sıcaklığı (termometre çıkış sıcaklığı)
h: ısı iletim katsayısı,
A: termometre yüzey alanı,
C: civanın ısı kapasitesi
m: civanın kütlesi
Bu denklemin Laplace dönüşümünü aldığımızda,
h.A.(X(s)-Y(s))=m.C.S.Y(s)
bulunur. Buradan transfer fonksiyonu,
G(s)=Y(s)/X(s) = 1/(cS+1) şeklinde bulunur.
Burada c=mC/hA olmak üzere bir sabittir.
Görüleceği üzere, çıkışı Y(s)=G(s)*X(s) biçiminde yazdığımızda, transfer fonksiyonu herhangi bir giriş bilgisine (Laplace dönüşümüne) karşılık çıkış bilgisini (Laplace dönüşümün) elde etmemizi sağlar. Bir bloğun çıkışı başka bir bloğun girişi olduğundan blok diyagramı oluşturulmuş sistemlerin toplam davranışı cebirsel işlemler yapılarak tek bir matematiksel fonksiyona indirgenebilir. Bu fonksiyonu oluştururken tümüyle laplace dönüşümleri kullanıldığından nihai fonksiyon da bir laplace fonksiyonudur. Bu fonksiyonun ters (inverse) Laplace dönüşümü herhangi bir giriş sinyaline karşılık sistemin çıkış noktasında nasıl davranacağını gösterir.

Şekil: Transfer fonksiyonların birleştirilmesi